Question

6．如图，已知四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°．
（Ⅰ）证明：PB⊥AD；
（Ⅱ）若PB=3，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD的中点E，连接PE，BD，BE，推导出BE⊥AD，PE⊥AD，从而AD⊥面PBE，由此能证明AD⊥PB．
（Ⅱ）作PO⊥BE于E，PO⊥面ABCD，求出$PO=PB•sin{30°}=\frac{3}{2}$，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．

解答 证明：（Ⅰ）取AD的中点E，连接PE，BD，BE，
∵底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，∴△ABD为正三角形，
又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，
∵侧面PAD为正三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD，
∴AD⊥面PBE，∴AD⊥PB．…（6分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）AD⊥面PBE，得面ABCD⊥面PBE，
作PO⊥BE于O，PO⊥面ABCD，
∵侧面PAD为边长等于2的正三角形、△ABD为正三角形，E为AD的中点，
∴$PE=BE=\sqrt{3}$，
又∵PB=3，设PB的中点为F，$EF=\sqrt{E{B^2}-B{F^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（8分）
∴$sin∠EBP=\frac{EF}{EB}=\frac{1}{2}$，∴∠EBP=30°，∴$PO=PB•sin{30°}=\frac{3}{2}$，…（10分）
∴四棱锥P-ABCD的体积${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．