Question

15．某军区新兵50m步枪射击个人平均成绩X（单位：环）服从正态分布N（μ，σ²），从这些个人平均成绩中随机抽取，得到如下频率分布表：

X	4	5	6	7	8	9
频数	1	2	26	40	29	2

（1）求μ和σ²的值（用样本书序期望、方差代替总数数学期望、方差）；
（2）如果这个军区有新兵10000名，试估计这个军区新兵步枪射击个人平均成绩在区间（7.9，8.8]上的人数．

Answer 1

分析 （1）由题意得随机抽取的100个成绩的分布列，由此求出E（X），D（X），由此能求出μ，σ²=．
（2）由（1）知X～N（7，0.8），从而P（7.9＜X≤8.8）=$\frac{1}{2}$[P（5.2＜X≤8.8）-P（6.1＜X≤7.9）]=0.1359．由此能求出这个军区新兵50m步枪射击个人平均成绩在区间（7.9.8.8]上的人数．

解答 解：（1）由题意得随机抽取的100个成绩的分布列为：

X	4	5	6	7	8	9
频率	0.01	0.02	0.26	0.40	0.29	0.02

∴E（X）=4×0.01+5×0.02+6×0.26+7×0.40+8×0.29+9×0.02=7．
D（X）=（4-7）²×0.01+（5-7）²×0.02+（6-7）²×0.26+（7-7）²×0.40+（8-7）²×0.29+（9-7）²×0.02=0.8．
∵样本成绩是随机得到的，
∴由样本估算总体得：μ=E（X）=7，σ²=D（X）=0.8．
（2）由（1）知X～N（7，0.8），
∵$\sqrt{0.8}$≈0.9，∴σ=0.9，
∴P（7.9＜X≤8.8）=$\frac{1}{2}$[P（5.2＜X≤8.8）-P（6.1＜X≤7.9）]
=$\frac{1}{2}×（0.9544-0.6826）$
=0.1359．
∴这个军区新兵50m步枪射击个人平均成绩在区间（7.9.8.8]上的人数约为：
10000×0.1359=1359．

点评 本题考查总体数学期望、方差的求法，考查概率的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列的性质的合理运用．