题目内容
（1）已知向量
，
，
满足
+
+
=0，且|
|=5，|
|=7，|
|=10，求
，
的夹角的余弦值；
（2）已知|
|=2，|
|=3，
与
的夹角为60°，若
+λ
与λ
+
的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
（2）已知|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）设
=
，
=
，
=
，由向量
，
，
满足
+
+
=0，且|
|=5，|
|=7，|
|=10，可得：三点ABC可组成三角形，利用余弦定理即可得出．
（2）由|
|=2，|
|=3，
与
的夹角为60°，可得
•
=2×3×cos60°=3．由
+λ
与λ
+
的夹角为锐角，可得：（
+λ
）•（λ
+
）＞0，且
+λ
与λ
+
不能同向共线．解出即可．
| AB |
| a |
| BC |
| b |
| CA |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
（2）由|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：
解：（1）设
=
，
=
，
=
，∵向量
，
，
满足
+
+
=0，且|
|=5，|
|=7，|
|=10，
∴三点ABC可组成三角形，
∴cosB=
=-
．
∴
，
的夹角的余弦值为
；
（2）∵|
|=2，|
|=3，
与
的夹角为60°，
∴
•
=2×3×cos60°=3．
∵
+λ
与λ
+
的夹角为锐角，
∴（
+λ
）•（λ
+
）＞0，且
+λ
与λ
+
不能同向共线．
化为3λ2+13λ+3＞0，
+λ
≠k(λ
+
)，k＜0．
解得λ＞
或λ＜
，且λ≠1．
∴实数λ的取值范围为λ＞
或λ＜
，且λ≠1．
| AB |
| a |
| BC |
| b |
| CA |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
∴三点ABC可组成三角形，
∴cosB=
| 52+72-102 |
| 2×5×7 |
| 13 |
| 35 |
∴
| a |
| b |
| 13 |
| 35 |
（2）∵|
| a |
| b |
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
∵
| a |
| b |
| a |
| b |
∴（
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
化为3λ2+13λ+3＞0，
| a |
| b |
| a |
| b |
解得λ＞
| ||
| 6 |
-13-
| ||
| 6 |
∴实数λ的取值范围为λ＞
| ||
| 6 |
-13-
| ||
| 6 |
点评：本题考查了向量三角形法则、向量共线定理、数量积运算性质、向量夹角公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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已知向量
，
满足|
|=3，|
|=2
，且
⊥（
+
），则向量
与
的夹角是（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| a |
| b |
| a |
| b |
| A、90° | B、120° |
| C、135° | D、150° |