题目内容
7．已知关于x的方程$\sqrt{{x^2}-1}$=ax-2有且只有一个解，则实数a的取值范围为[-$\sqrt{5}$，-1）∪（1，$\sqrt{5}$]．分析 根据题意，分析可得若方程$\sqrt{{x^2}-1}$=ax-2有且只有一个解，则函数y=$\sqrt{{x^2}-1}$与直线y=ax-2只有一个交点，分析可得函数y=$\sqrt{{x^2}-1}$为双曲线x2-y2=1的x轴上方部分，由直线与双曲线的位置关系分析可得a的取值范围，即可得答案．
解答 解：根据题意，若方程$\sqrt{{x^2}-1}$=ax-2有且只有一个解，
则函数y=$\sqrt{{x^2}-1}$与直线y=ax-2只有一个交点，
而函数y=$\sqrt{{x^2}-1}$，其解析式变形可得y2=x2-1（y≥0），
即双曲线x2-y2=1的x轴上方部分；
双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x，
直线y=ax-2过点（0，-2），
分析可得：当a=±$\sqrt{5}$时，直线与双曲线相切，
若直线y=ax-2与双曲线x2-y2=1（y≥0）只有一个交点，
则有-$\sqrt{5}$≤a＜-1或1＜a≤$\sqrt{5}$，
即a的取值范围是[-$\sqrt{5}$，-1）∪（1，$\sqrt{5}$]；
故答案为：[-$\sqrt{5}$，-1）∪（1，$\sqrt{5}$]．
点评 本题考查方程根的判断，涉及直线与双曲线的位置关系，关键是将方程有解的问题转化为双曲线与直线的位置关系问题．
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期末冲刺100分创新金卷完全试卷系列答案
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如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1．
11．
我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为（ ）
我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为（ ）| A． | 4 | B． | $\frac{9}{2}$ | C． | 5 | D． | $\frac{11}{2}$ |
15．两曲线$y=\sqrt{x}$，y=x2在x∈[0，1]内围成的图形面积是（ ）
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | 1 | D． | 2 |
19．已知点A（-3，0），B（0，2）在椭圆$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1$上，则椭圆的标准方程为（ ）
| A． | $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$ | B． | $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ | C． | $\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$ | D． | $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$ |