Question

（2011•浙江）设F₁，F₂分别为椭圆+y²=1的焦点，点A，B在椭圆上，若=5；则点A的坐标是　_________　．

Answer 1

（0，±1）

方法1：直线F₁A的反向延长线与椭圆交于点B'
又∵
由椭圆的对称性，得
设A（x₁，y₁），B'（x₂，y₂）
由于椭圆的a=，b=1，c=
∴e=，F₁（，0）．
∵

从而有：

由于≤x₁，x₂，
∴，，
即=5×
=5． ①
又∵三点A，F₁，B′共线，
∴（，y₁﹣0）=5（﹣﹣x₂，0﹣y₂）
∴．②
由①+②得：x₁=0．
代入椭圆的方程得：y₁=±1，
∴点A的坐标为（0，1）或（0，﹣1）
方法2：因为F₁，F₂分别为椭圆的焦点，则，设A，B的坐标分别为A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
若；则，所以，
因为A，B在椭圆上，所以，代入解得或，
故A（0，±1）．