Question

已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a³）．若△AOB为直角三角形，则必有（　　）

• A．b=a³
• B．(b-a3)(b-a3-

  1

  a

  )=0
• C．|b-a3|+|b-a3-

  1

  a

  |=0
• D．b=a3+

  1

  a

Answer 1

分析：根据

AB

=（a，a³-b），

OA

=（0，b），

OB

=（a，a³），且ab≠0分以下三种情况利用垂直与数量积的关系即可得出．

解答：解：∵

AB

=（a，a³-b），

OA

=（0，b），

OB

=（a，a³），且ab≠0
若

OA

⊥

OB

，则

OA

•

OB

=ba³=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去；
若

OA

⊥

AB

，则

OA

•

AB

=b（a³-b）=0，∵b≠0，∴b=a³≠0；
若

OB

⊥

AB

，则

OB

•

AB

=a²+a³（a³-b）=0，得1+a⁴-ab=0，即 b-a³-

1

a

=0
综上可知：△OAB为直角三角形，则必有（b-a³）（b-a³-

1

a

）=0
故选：B．

点评：熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键．