Question

【题目】已知函数f（x）定义在区间（﹣1，1）内，对于任意的x，y∈（﹣1，1）有f（x）+f（y）=f（ ），且当x＜0时，f（x）＞0．
（1）判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性，并加以证明；
（2）若f（﹣ ）=1，求方程f（x）+ =0的解．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=0，则f（0）=0，令y=﹣x，则f（x）+f（﹣x）=0，

即f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数．

任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=f（ ）．

﹣1＜x1＜x2＜1，可得﹣1＜x1x2＜，则 ＜10，则f（ ）＞0，

即f（x1）＞f（x2）．则f（x）在区间（﹣1，1）内是减函数

（2）解：f（x）为奇函数，则f（ ）=﹣1，

又2f（x）=f（x）+f（x）=f（ ），且f（x）+ =0，

即2f（x）+1=0，2f（x）=﹣1．则f（ ）=f（ ）．

f（x）在区间（﹣1，1）内是单调函数，

可得 = ．

即x=2﹣ 或x=2+ （舍）．

故方程的解为2﹣

【解析】（1）分别令x=y=0，求得f（0）=0，令y=﹣x，结合奇偶性定义即可判断；再由单调性的定义，即可得到f（x）在区间（﹣1，1）内是减函数；（2）运用奇函数的定义，可令y=x，结合单调性，可得方程 = ，即可得到方程的解．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)，还要掌握函数的奇偶性(偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称)的相关知识才是答题的关键．