题目内容
【题目】已知向量 ,
满足|
|=|
=1,且|k
+
|=
|
﹣k
|(k>0),令f(k)=
. (Ⅰ)求f(k)=
(用k表示);
(Ⅱ)若f(k)≥x2﹣2tx﹣ 对任意k>0,任意t∈[﹣1,1]恒成立,求实数x的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)由题设得 ,对
两边平方得:
;
∴ ;
∴ ;
∴ ;
(Ⅱ) ,当且仅当k=1时取“=”;
∵f(k)≥x2﹣2tx﹣ 对任意的k>0,t∈[﹣1,1]恒成立;
∴ ≥x2﹣2tx﹣
;
即g(t)=2xt﹣x2+1≥0在[﹣1,1]上恒成立,而g(t)在[﹣1,1]上为单调函数或常函数;
;
解得1﹣ ≤x≤
﹣1;
故实数x的取值范围为[1﹣ ,
﹣1].
【解析】(Ⅰ)根据 ,对
两边平方即可求出
的值,从而得出
;(Ⅱ)先根据基本不等式求出k=1时,f(k)取最小值
,这样根据条件即可得到
对任意的t∈[﹣1,1]恒成立,即得到g(t)=2xt﹣x2+1≥0对任意的t∈[﹣1,1]恒成立,从而得到
,这样即可解出x的取值范围.
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