题目内容
【题目】如图,E是矩形ABCD中AD边上的点,F是CD上的点,AB=AE= AD=4,现将△ABE沿BE边折至△PBE位置,并使平面PBE⊥平面BCDE,且平面PBE⊥平面PEF.
(1)求 的比值;
(2)求二面角E﹣PB﹣C的余弦值.
【答案】
(1)解:以D为原点,DE为x轴,DC为y轴,过D作平面BCDE的垂线为z轴,
建立空间直角坐标系,
P(4,2,2 ),B(6,4,0),E(2,0,0),设F(0,t,0),
=(2,2,﹣2
),
=(﹣2,﹣2,﹣2
),
=(﹣4,t﹣2,﹣2
),
设平面PBE的法向量 =(x,y,z),
则 ,取x=1,得
=(1,﹣1,0),
设平面PEF的法向量 =(a,b,c),
则 ,取b=2,得
=(t,2,﹣
),
∵平面PBE⊥平面PEF,
∴ =t﹣2=0,解得t=2.
∴DF=2,FC=4﹣2=2,
∴ =1.
(2)解:C(0,4,0), =(2,2,﹣2
),
=(﹣4,2,﹣2
),
设平面PBC的法向量 =(x1,y1,z1),
则 ,取y=
,得
=(0,
,1),
由(1)得平面PBE的法向量 =(1,﹣1,0),
cos< >=
=
=﹣
,
由图形得二面角E﹣PB﹣C的平面角为锐角,
∴二面角E﹣PB﹣C的余弦值为 .
【解析】(1)以D为原点,DE为x轴,DC为y轴,过D作平面BCDE的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出 的比值.(2)求出平面PBC的法向量和平面PBE的法向量,利用向量法能求出二面角E﹣PB﹣C的余弦值.
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