Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且∠DAB=60°，AB=2，E为AD的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）求二面角A-PD-C的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使EF∥平面PDC？并说明理由．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的性质,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）根据题设条件，利用余弦定理和勾股定理推导出AD⊥EB，再由等边三角形的性质推导出AD⊥平面PEB，由此能证明AD⊥PB．
（Ⅱ）以点E为坐标原点，EA，EB，EP为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PD-C的余弦值．
（Ⅲ）假设棱PB上存在点F，使EF∥平面PDC，设F（0，m，n），

PF

=λ

PB

，利用向量法能求出当点F为PB的中点时，EF∥平面PDC．

解答： （Ⅰ）证明：连结EB，在△AEB中，AE=1，AB=2，∠EAB=60°，
∴BE²=AE²+AB²-2AE•AB•cos60°=1+4-2=3．
∵AE²+BE²=AB²，∴AD⊥EB．…（2分）
∵△PAD为等边三角形，E为AB的中点，∴AD⊥PE．
又∵EB∩PE=E，∴AD⊥平面PEB，∴AD⊥PB．…（4分）
（Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，且PE⊥AD，
∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥EB．
以点E为坐标原点，EA，EB，EP为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，如图．
∵△PAD为等边三角形，∠DAB=60°，AB=2，E为AD的中点．
∴A（1，0，0），B（0，

3

，0），P（0，0，

3

），
D（-1，0，0），

DC

=

AB

=(-1，

3

，0)．
设平面PCD的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n

•

DC

=0，

n

•

DP

=0，
∴

-x+ 3 y=0 x+ 3 z=0

，
令z=-1，则x=

3

，y=1，∴

n

=（

3

，1，-1）．
平面PAD的一个法向量为

EB

=(0，

3

，0)，
∴cos＜

EB

，

n

＞=

3

3 • 5

=

5

5

．
又∵二面角A-PD-C为钝角，
∴二面角A-PD-C的余弦值为-

5

5

．（8分）
（Ⅲ）假设棱PB上存在点F，使EF∥平面PDC，
设F（0，m，n），

PF

=λ

PB

，则：（0，m，n-

3

）=λ（0，

3

，-

3

），
∴m=

3

λ，n=

3

-

3

λ，
∴

EF

=(0，

3

λ，

3

-

3

λ)．∵EF∥平面PDC，
∴

EF

⊥

n

，即（0，

3

λ，

3

-

3

λ）•（

3

，1，-1）=0．
∴

3

λ-

3

+

3

λ=0，解得λ=

1

2

．
∴当点F为PB的中点时，EF∥平面PDC．（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线与平面平行的动点位置的确定，解题时要注意空间思维能力的培养，合理运用向量法．