题目内容
4．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左右焦点为F1，F2，M为椭圆C上的动点，则$\frac{1}{M{F}_{1}}$+$\frac{1}{M{F}_{2}}$的最小值为$\frac{2}{5}$．分析 由$\frac{1}{M{F}_{1}}$+$\frac{1}{M{F}_{2}}$=$\frac{M{F}_{1}+M{F}_{2}}{M{F}_{1}•M{F}_{2}}$=$\frac{10}{M{F}_{1}•M{F}_{2}}$，MF1•MF2的最大值为a2=25，能求出$\frac{1}{M{F}_{1}}$+$\frac{1}{M{F}_{2}}$的最小值．
解答 解：∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左右焦点为F1，F2，M为椭圆C上的动点，
∴$\frac{1}{M{F}_{1}}$+$\frac{1}{M{F}_{2}}$=$\frac{M{F}_{1}+M{F}_{2}}{M{F}_{1}•M{F}_{2}}$=$\frac{10}{M{F}_{1}•M{F}_{2}}$，
∵MF1•MF2的最大值为a2=25，
∴$\frac{1}{M{F}_{1}}$+$\frac{1}{M{F}_{2}}$的最小值dmin=$\frac{10}{25}$=$\frac{2}{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$．
点评 本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．
练习册系列答案
黄冈天天练口算题卡系列答案
相关题目
13．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），则此双曲线方程为（ ）
| A． | $\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$ | B． | ${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$ | C． | ${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$ | D． | $\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$ |