Question

11．已知a，b＞0，a+2b=1，则t=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值是（　　）

• A． 3+2$\sqrt{2}$
• B． 3-2$\sqrt{2}$
• C． 1+2$\sqrt{2}$
• D． 1+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用“1”代换，t=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）×（a+2b）=3+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥3+2$\sqrt{\frac{2b}{a}×\frac{a}{b}}$=3+2$\sqrt{2}$，即可求得t的最小值．

解答 解：∵a，b＞0，a+2b=1，
t=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）×（a+2b）=1+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$+2=3+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥3+2$\sqrt{\frac{2b}{a}×\frac{a}{b}}$=3+2$\sqrt{2}$，
（当且仅当$\frac{2b}{a}$=$\frac{a}{b}$，即a=$\sqrt{2}$b，a+2b=1时去等号）
t=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值3+2$\sqrt{2}$，
故答案选：A．

点评 本题考查基本不等式的应用，考查“1”代换的应用，属于基础题．