题目内容
已知向量
=（2sin（ωx+
），1），
=（2cosωx，-
），（ω＞0），函数f（x）=
•
的两条相邻对称轴间的距离为
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[-
，
]时，求f（x）的值域．
| m |
| π |
| 3 |
| n |
| 3 |
| m |
| n |
| π |
| 2 |
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
考点：平面向量数量积的运算,正弦函数的定义域和值域,正弦函数的单调性
专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析：（I）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=2sin(2ωx+
)．再利用正弦函数的单调性和周期性即可得出．
（II）利用正弦函数的单调性即可得出．
| π |
| 3 |
（II）利用正弦函数的单调性即可得出．
解答：
解：（Ⅰ）函数f（x）=
•
=4sin（ωx+
）•cosωx-
=4(
sinωx+
cosωx)•cosωx-
=sin2ωx+2
cos2ωx-
=sin2ωx+
cos2ωx=2sin(2ωx+
)．
∴T=
=π，解得ω=1．
∴f（x）=2sin(2x+
)．
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，解得kπ-
≤x≤kπ+
，
∴单调递增区间是[kπ-
，kπ+
]（k∈Z）．
（Ⅱ）∵x∈[-
，
]，∴2x+
∈[-
，
]，
∴sin(2x+
)∈[-
，1]．
∴f(x)∈[-
，2]，即f（x）的值域是[-
，2]．
| m |
| n |
| π |
| 3 |
| 3 |
=4(
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
=sin2ωx+2
| 3 |
| 3 |
=sin2ωx+
| 3 |
| π |
| 3 |
∴T=
| 2π |
| 2ω |
∴f（x）=2sin(2x+
| π |
| 3 |
由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
∴单调递增区间是[kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（Ⅱ）∵x∈[-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴sin(2x+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴f(x)∈[-
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
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