Question

已知函数f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos²ωx（ω＞0）的最小正周期为

2

3

π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）设△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，求此时f（x）的值域．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据已知周期，利用周期公式求出ω的值即可；
（Ⅱ）由ω的值确定出f（x）解析式，利用余弦定理表示出cosx，将b²=ac代入并利用基本不等式求出cosx的范围，确定出x的范围，利用正弦函数的性质即可求出f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos²ωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，
∵ω＞0，函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2ω

=

2π

3

，
∴ω=

3

2

，此时f（x）=sin（3x-

π

6

）-

1

2

；
（Ⅱ）由题意得：cosx=

a2+c2-b2

2ac

，
将b²=ac代入得cosx=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

（当且仅当a=c时取等号），
∵0＜x＜π，∴0＜x≤

π

3

，
∴-

π

6

＜3x-

π

6

≤

5π

6

，即-

1

2

＜sin（3x-

π

6

）≤1，
∴-1＜sin（3x-

π

6

）-

1

2

≤

1

2

，
则f（x）的值域为（-1，

1

2

]．

点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．