Question

设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=e^x-ax，其中a为实数，若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：令f′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

＜0，得f（x）在（a^-1，+∞）上是单调减函数．同理，f（x）在（0，a^-1）上是单调增函数．由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答： 解：令f′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

＜0，
考虑到f（x）的定义域为（0，+∞），
故a＞0，进而解得x＞a^-1，
即f（x）在（a^-1，+∞）上是单调减函数．
同理，f（x）在（0，a^-1）上是单调增函数．
由于f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，
故（1，+∞）⊆（a^-1，+∞），从而a^-1≤1，即a≥1．
令g'（x）=e^x-a=0，得x=lna．
当x＜lna时，g′（x）＜0；当x＞lna时，g′（x）＞0．
又g（x）在（1，+∞）上有最小值，所以lna＞1，
即a＞e．综上，有a∈（e，+∞）．

点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．是中档题．