Question

【题目】如图，三条直线型公路，，在点处交汇，其中与、与的夹角都为，在公路上取一点，且km，过铺设一直线型的管道，其中点在上，点在上（，足够长），设km，km．

（1）求出，的关系式；

（2）试确定，的位置，使得公路段与段的长度之和最小．

Answer 1

【答案】（1）（2）当时，公路段与段的总长度最小

【解析】

（1）（法一）观察图形可得，由此根据三角形的面积公式，建立方程，化简即可得到的关系式；

（法二）以点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，找到各点坐标，根据三点共线，即可得到结论；

（2）运用“乘1法”，利用基本不等式，即可求得最值，得到答案．

（1）（法一）由图形可知．

，

，

所以，即．

（法二）以为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，

则，，，，

由，，三点共线得．

（2）由（1）可知，

则（），

当且仅当（km）时取等号．

答：当时，公路段与段的总长度最小为8．.