Question

16．点P为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$右支上的一点，其左、右焦点分别为F₁，F₂，若△PF₁F₂的内切圆I与x轴相切于点A，过F₂作PI的垂线，重足为B，O为坐标原点，那么$\frac{{|{OA}|}}{{|{OB}|}}$的值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{b}{a}$
• D． $\frac{a}{b}$

Answer 1

分析 根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF₁|-|PF₂|=2a，转化为|AF₁|-|AF₂|=2a，从而求得点H的横坐标．再在三角形PCF₂中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形F₁CF₂中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．

解答 解：F₁（-c，0）、F₂（c，0），内切圆与x轴的切点是点A
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，及圆的切线长定理知，
|AF₁|-|AF₂|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，
则|（x+c）-（c-x）|=2a
∴x=a；
|OA|=a，
在△PCF₂中，由题意得，F₂B⊥PI于B，延长交F₁F₂于点C，利用△PCB≌△PF₂B，可知|PC|=|PF₂|，
∴在三角形F₁CF₂中，有：
丨OB丨=$\frac{1}{2}$丨CF₁丨=$\frac{1}{2}$（丨PF₁丨-丨PC丨）=$\frac{1}{2}$（丨PF₁丨-丨PF₂丨）=$\frac{1}{2}$×2a=a．
∴|OB|=|OA|．
$\frac{{|{OA}|}}{{|{OB}|}}$=1
故选A．

点评 本题考查双曲线的定义、切线长定理．解答的关键是充分利用平面几何的性质，如三角形内心的性质等，属于中档题．