Question

20．如图所示，已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F垂直于x轴的直线与抛物线C相交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线及直线AB所围成的三角形面积为4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设M，N是抛物线C上异于原点O的两个动点，且满足k_OM•k_ON=k_OA•k_OB，求△OMN面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出A，B坐标，利用导数解出切线方程，求出切线与x轴的交点，利用三角形的面积列方程解出p；
（2）计算k_OA•k_OB=-4，设出MN方程，求出MN与x轴的交点，联立方程组，根据根与系数的关系计算|y_M-y_N|，得出△OMN面积S关于t的函数，解出函数的最值．

解答 解：（1）抛物线的焦点坐标为F（$\frac{p}{2}$，0），∴$A（\frac{p}{2}，p），B（\frac{p}{2}，-p）$，
由$y=\sqrt{2px}$，得$y'=\frac{p}{{\sqrt{2px}}}$，∴抛物线C在A处的切线斜率为1，
由抛物线C的对称性，知抛物线C在B处的切线卸斜率为-1，
∴抛物线过A点的切线方程为y-p=x-$\frac{p}{2}$，令y=0得x=-$\frac{p}{2}$．
∴$\frac{1}{2}•2p•p=4$，解得p=2．
∴抛物线C的方程为y²=4x．
（2）k_OA=2，k_OB=-2，∴k_OA•k_OB=-4，
设$M（\frac{1}{4}y_1^2，{y_1}），N（\frac{1}{4}y_2^2，{y_2}）$，则${k_{OM}}•{k_{ON}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{\frac{1}{16}y_1^2•y_2^2}}=-4$，
∴y₁y₂=-4．
令直线MN的方程为x=ty+n，
联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{x=ty+n}\end{array}}\right.$消去x得：y²-4ty-4n=0，
则y₁y₂=-4n，y₁+y₂=4t，
∵y₁y₂=-4，∴n=1．即直线MN过点（1，0）．
∴${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\frac{1}{2}\sqrt{16{t^2}+16}=2\sqrt{{t^2}+1}$．
∵t²≥0，∴S_△OMN≥2．
综上所示，△OMN面积的取值范围是[2，+∞）．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．