Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，满足|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）=0
（Ⅰ）求|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|的值；
（Ⅱ）求|$\overrightarrow{c}$|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量的数量积的运算和模的计算即可，
（Ⅱ）建立坐标系，得到则$\overrightarrow{c}$的轨迹为以（2，1）为圆心，以r=3为半径的圆，即可求出最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+4|$\overrightarrow{b}$|²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=16+16-0=32，
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=4$\sqrt{2}$
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
以$\overrightarrow{a}$所在的直线为x轴，$\overrightarrow{b}$所在的直线为y轴，建立坐标系，
∵|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，
∴$\overrightarrow{a}$=（4，0），$\overrightarrow{b}$=（0，2），
设$\overrightarrow{c}$的坐标为（x，y），
∴$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$=（x-4，y），$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$=（x，y-2），
∵（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
∴x（x-4）+y（y-2）=0，
即（x-2）²+（y-1）²=9，
则$\overrightarrow{c}$的轨迹为以（2，1）为圆心，以r=3为半径的圆，
圆心到原点的距离d=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
故|$\overrightarrow{c}$|_最大值=d+r=3+$\sqrt{5}$

点评 本题考查平面向量数量积的运算，本题解题的关键是写出满足条件的对应的点，根据数形结合思想求出向量的模长．