Question

11．双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率为$\sqrt{3}$，抛物线y²=2px（p＞0）的准线与双曲线C的渐近线交于A，B两点，△OAB（O为坐标原点）的面积为$4\sqrt{2}$，则抛物线的方程为（　　）

• A． y²=8x
• B． y²=4x
• C． y²=2x
• D． ${y^2}=4\sqrt{3}x$

Answer 1

分析 根据双曲线性质求出渐近线方程，得出|AB|，根据△OAB的面积计算出$\frac{p}{2}$，得出抛物线方程．

解答 解：∵双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$离心率为$\sqrt{3}$，
∴$\frac{c}{a}=\sqrt{3}$，即c=$\sqrt{3}a$，∴b²=c²-a²=2a²，即b=$\sqrt{2}$a，
∴双曲线的渐近线方程是$y=±\sqrt{2}x$，
又抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程是$x=-\frac{p}{2}$，∴$|AB|=\sqrt{2}p$，
又△OAB的面积为$4\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}×\frac{p}{2}×\sqrt{2}p=4\sqrt{2}$，解得p=4．
∴抛物线的方程为y²=8x，
故选A．

点评 本题考查了抛物线，双曲线的性质，属于中档题．