Question

18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且c=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，C=30°，则a+b的最大值是4．

Answer 1

分析 由余弦定理，求得a和b的关系式，利用基本不等式求得整理求得（a+b）²的范围，进而求得a+b的最大值．

解答 解：由余弦定理可得：
（ $\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）²=a²+b²-2abcos30°
=a²+b²-$\sqrt{3}$ab
=（a+b）²-（2+$\sqrt{3}$）ab
≥（a+b）²-$\frac{1}{4}$（2+$\sqrt{3}$）（a+b）²
=$\frac{1}{4}$（2-$\sqrt{3}$）（a+b）²，
即（a+b）²≤$\frac{4（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}}{2-\sqrt{3}}$=16，
当且仅当a=b时，等号成立，
∴a+b的最大值为4．
故答案为：4．

点评 本题主要考查了余弦定理的应用和基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生对三角函数基础的综合运用．