Question

1．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）满足a≤$\sqrt{3}$b，若离心率为e，则e²+$\frac{1}{e^2}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $\frac{13}{6}$

Answer 1

分析 先由a≤$\sqrt{3}$b，及a²=b²+c²，求得椭圆离心率的范围，再利用换元法将函数y=e²+$\frac{1}{e^2}$转化为函数y=t+$\frac{1}{t}$（0＜t≤$\frac{2}{3}$），最后利用导数判断此函数的单调性，求出函数的最小值．

解答 解：∵a≤$\sqrt{3}$b，∴a²≤3b²，∴a²≤3（a²-c²），即2a²≥3c²，∴0＜e²≤$\frac{2}{3}$
设t=e²，则y=e²+$\frac{1}{{e}^{2}}$=t+$\frac{1}{t}$ （0＜t≤$\frac{2}{3}$）
∵y′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＜0，
∴y=t+$\frac{1}{t}$（0＜t≤$\frac{2}{3}$）为（0，$\frac{2}{3}$]上的减函数
∴y≥$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{\frac{2}{3}}$=$\frac{13}{6}$，即e²+$\frac{1}{e^2}$的最小值为$\frac{13}{6}$
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的几何性质离心率的求法，考查特殊函数的单调性和最值的求法，注意本题的函数y=t+$\frac{1}{t}$（0＜t≤$\frac{2}{3}$）不适合用均值定理求最值．