题目内容
在△ABC中，中线长AM=2．
（1）若
=-2
，求证：
+
+
=0；
（2）若P为中线AM上的一个动点，求
•（
+
）的最小值．
（1）若
| OA |
| OM |
| OA |
| OB |
| OC |
（2）若P为中线AM上的一个动点，求
| PA |
| PB |
| PC |
考点：平面向量数量积的运算,向量的加法及其几何意义
专题：平面向量及应用
分析：（1）由点M是线段BC的中点，利用向量的平行四边形法则可得
=
(
+
)，再利用
=-2
，即可证明．
（2）设|
|=x，则|
|=2-x，（0≤x≤2）．由点M是线段BC的中点，可得
+
=2
．于是
•（
+
）=2
•
=-2|
|•|
|=2（x-1）2-2，再利用二次函数的单调性即可得出．
| OM |
| 1 |
| 2 |
| OB |
| OC |
| OA |
| OM |
（2）设|
| AP |
| PM |
| PB |
| PC |
| PM |
| PA |
| PB |
| PC |
| PA |
| PM |
| PA |
| PM |
解答：
（1）证明：∵点M是线段BC的中点，∴
=
(
+
)，
∵
=-2
，∴
+
+
=-2
+2
=
．
（2）解：设|
|=x，则|
|=2-x，（0≤x≤2）．
∵点M是线段BC的中点，
∴
+
=2
．
∴
•（
+
）=2
•
=-2|
|•|
|
=-2x（2-x）=2（x2-2x）
=2（x-1）2-2，
当x=1时，
•（
+
）取得最小值-2．
| OM |
| 1 |
| 2 |
| OB |
| OC |
∵
| OA |
| OM |
| OA |
| OB |
| OC |
| OM |
| OM |
| 0 |
（2）解：设|
| AP |
| PM |
∵点M是线段BC的中点，
∴
| PB |
| PC |
| PM |
∴
| PA |
| PB |
| PC |
| PA |
| PM |
=-2|
| PA |
| PM |
=-2x（2-x）=2（x2-2x）
=2（x-1）2-2，
当x=1时，
| PA |
| PB |
| PC |
点评：本题考查了向量的平行四边形法则、向量的数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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