Question

设函数f（x）=1-|2x-1|，x∈[0，1]，定义 f¹（x）=f（x），…，fⁿ（x）=f（f^n-1（x）），n=1，
2，3，…．函数g（x）=fⁿ（x）-x有8个零点．则n=

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：由已知条件x的取值范围，进行分类讨论，由此能求出n的值，

解答： 解：由题意知，
（1）当x∈[0，

1

2

]时，f¹（x）=f（x）=1-|2x-1|=2x，
①当x∈[0，

1

4

]时，f²（x）=1-|4x-1|=4x．
（i）当x∈[0，

1

8

]时，f³（x）=1-|8x-1|=8x，
此时，g（x）=f³（x）-x=7x，有零点x₁=0．
（ii）当x∈（

1

8

，

1

4

]时，f³（x）=1-|8x-1|=2-8x，
此时，g（x）=f³（x）-x=2-9x，有零点x2=

2

9

．
②当x∈（

1

4

，

1

2

]时，f²（x）=1-|4x-1|=2-4x，
（i）当x∈[

1

4

，

3

8

]时，f³（x）=1-|4-8x-1|=8x-2，
此时，g（x）=f³（x）-x=7x-2，有零点x3=

2

7

．
（ii）当x∈[

3

8

，

1

2

）时，f³（x）=1-|4-8x-1|=4-8x，
此时，g（x）=f³（x）-x=4-9x，有零点x4=

4

9

．
（2）当x∈（

1

2

，1）时，f¹（x）=f（x）=1-|2x-1|=2-2x，
①当x∈（

1

2

，

3

4

]时，f²（x）=1-|4-4x-1|=4x-2，
（i）当x∈（

1

2

，

5

8

]时，f³（x）=1-|8x-4-1|=8x-4，
此时，g（x）=f³（x）-x=7x-4，有零点x₅=

4

7

．
（ii）当x∈（

5

8

，

3

4

]时，f³（x）=1-|8x-4-1|=6-8x，
此时，g（x）=f³（x）-x=6-9x，有零点x₆=

2

3

．
②当x∈（

3

4

，1]时，f²（x）=1-|4-4x-1|=4-4x，
（i）当x∈（

3

4

，

7

8

]时，f³（x）=1-|8-8x-1|=8x-6，
此时，g（x）=f³（x）-x=7x-6，有零点x₆=

6

7

．
（ii）当x∈（

7

8

，1]时，f³（x）=1-|8-8x-1|=8-8x，
此时，g（x）=f³（x）-x=8-9x，有零点x₈=

8

9

．
综上所述，若函数g（x）=fⁿ（x）-x有8个零点．则n=3．
故答案为：3．

点评：本题考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质和分类讨论思想的合理运用．