Question

在正三棱锥A-BCD中，三条侧棱AB，AC，AD两两垂直，M，N分别是BC、AD的中点，则异面直线AM和CN所成的余弦值为

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设AB=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，2），中点M（1，1，0），N（0，0，1）．
利用向量夹角公式cos＜

AM

，

CN

＞=

AM • CN

| AM | | CN |

即可得出．

解答： 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
不妨设AB=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，2），∴中点M（1，1，0），N（0，0，1）．
∴

AM

=（1，1，0），

CN

=（0，-2，1）．
∴cos＜

AM

，

CN

＞=

AM • CN

| AM | | CN |

=

-2

2 × 5

=-

10

5

．
∴异面直线AM和CN所成的余弦值为

10

5

．
故答案为：

10

5

．

点评：本题考查了利用向量夹角公式求出异面直线的夹角的方法，属于基础题．