Question

12．在等差数列{a_n}中，a₁=1，前n项和S_n满足条件$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$=$\frac{4n+2}{n+1}$，n=1，2，…
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$a_n（\frac{1}{2}）^{a_n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）将n=1代入已知递推式，易得a₂，从而求出d，故a_n可求；
（2）求出b_n，然后利用错位相减法求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$=$\frac{4n+2}{n+1}$得：
$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{{a}_{1}}$=3，a₁=1，
所以a₂=2，
即d=a₂-a₁=1，
所以a_n=n．
（2）由b_n=a_n（$\frac{1}{2}$^）a_n，得b_n=n$\frac{1}{2}$ⁿ．
所以T_n=$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{2}$）²+3（$\frac{1}{2}$）³+…+（n-1）（$\frac{1}{2}$）^n-1+n（$\frac{1}{2}$）ⁿ，①；
  $\frac{1}{2}$T_n=（$\frac{1}{2}$）²+2（$\frac{1}{2}$）³+3（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n-1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，②
①-②得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}-n（\frac{1}{2}）^{n+1}$=1-$（\frac{1}{2}）^{n}-n（\frac{1}{2}）^{n+1}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$．
所以数列{b_n}的前n项和T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题主要考查对数列递推关系的观察能力和利用错位相减法求和的能力，难度中等．