Question

7．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=m，曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）写出曲线C的参数方程；
（2）若直线l与曲线C相切，求m的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开可得：ρ²=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ），利用互化公式可得直角坐标方程，利用同角三角函数基本关系的平方关系化为参数方程．
（2）直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=m，利用互化公式可得直角坐标方程，根据直线l与曲线C相切，可得圆心（1，1）到直线的距离d=r，即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
展开可得：ρ²=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ），化为：x²+y²=2x+2y，
配方为：（x-1）²+（y-1）²=2．可得参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosθ}\\{y=1+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（2）直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=m，化为直角坐标方程：y+x-m=0．
∵直线l与曲线C相切，∴圆心（1，1）到直线的距离d=$\frac{|1+1-m|}{\sqrt{2}}$=r=$\sqrt{2}$，
解得m=0，或4．

点评 本题考查了直角坐标方程化为参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．