Question

函数f（x）=x³-x²-x+1的图象上有两点A（0，1）和B（1，0）
（Ⅰ）在区间（0，1）内，求实数a使得函数f（x）的图象在x=a处的切线平行于直线AB；
（Ⅱ）设m＞0，记M（m，f（m）），求证在区间（0，m）内至少有一实数b，使得函数图象在x=b处的切线平行于直线AM．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,分类讨论,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求出导数，求出切线的斜率f′（a），求得直线AB的斜率，令f′（a）=-1（0＜a＜1）解方程即可得到a；
（Ⅱ）求出直线AM斜率，直求出线在x=b处的切线斜率为f′（b），由切线平行于AM，可令f′（b）=m²-m-1，
考察3b²-2b-m²+m=0在区间（0，m）内的根的情况，令g（b）=3b²-2b-m²+m，求得g（0），g（m），g（

1

3

），
对m讨论：当0＜m＜

1

2

时，当

1

2

≤m＜1时，当m≥1时，由零点存在定理，即可得证．

解答： （Ⅰ）解：直线AB斜率k_AB=

0-1

1-0

=-1，
函数f（x）的导数f′（x）=3x²-2x-1，
f（x）的图象在x=a处的切线平行于直线AB，
令f′（a）=-1（0＜a＜1）即3a²-2a-1=-1，
解得a=

2

3

；
（Ⅱ）证明：f（m）=m³-m²-m+1，
则直线AM斜率k_AM=

m3-m2-m+1-1

m-0

=m²-m-1，
直线在x=b处的切线斜率为f′（b）=3b²-2b-1，
由切线平行于AM，可令f′（b）=m²-m-1
即3b²-2b-m²+m=0在区间（0，m）内的根的情况，
令g（b）=3b²-2b-m²+m，则此二次函数图象的对称轴为b=

1

3

，
而g（

1

3

）=-m²+m-

1

3

=-（m-

1

2

）²-

1

12

＜0，
g（0）=-m²+m=m（1-m），
g（m）=2m²-m=m（2m-1），
则（1）当0＜m＜

1

2

时，g（0）＞0，g（m）＜0，方程g（b）=0在区间（0，m）内有一实根；
（2）当

1

2

≤m＜1时，g（0）＞0，g（

1

3

）＜0，方程g（b）=0在区间（0，

1

3

）内有一实根；
（3）当m≥1时，g（

1

3

）＜0，g（m）＞0，方程g（b）=0在区间（

1

3

，m）内有一实根．
综上，方程g（b）=0在区间（0，m）内至少有一实根，
故在区间（0，m）内至少有一实数b，使得函数图象在x=b处的切线平行于直线AM．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查二次函数的零点问题，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．