Question

抛物线y²=2px（p＞0）上各点与焦点连线的中点的轨迹方程是

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求焦点坐标，假设动点P的坐标，从而可得中点坐标，利用P是抛物线y²=2px（p＞0）上的动点，代入抛物线方程即可求得．

解答： 解：抛物线的焦点为F（

p

2

，0），
设P（m，n）为抛物线一点，则n²=2pm，
设Q（x，y）是PF中点，则：x=

m+ p 2

2

，y=

n

2

，将m=2x-

p

2

，n=2y代入n²=2pm得：y²=px-

p2

4

，
故答案为：y²=px-

p2

4

．

点评：本题主要考查轨迹方程的求解，利用了代入法，关键是寻找动点之间的关系，再利用已知动点的轨迹求解．