Question

已知：x＞y＞0，且xy=1，若x²+y²≥a（x-y）恒成立，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：转化思想,不等式的解法及应用

分析：由已知把x²+y²≥a（x-y）恒成立转化为a≤

x2+y2

x-y

恒成立，整理后代入xy=1，然后利用基本不等式求最值，从而得到a的取值范围．

解答： 解：∵x＞y＞0，
由x²+y²≥a（x-y）恒成立，得a≤

x2+y2

x-y

恒成立，
又

x2+y2

x-y

=

(x-y)2+2xy

x-y

，
而x＞y＞0，且xy=1，
∴

x2+y2

x-y

=

(x-y)2+2xy

x-y

=

(x-y)2+2

x-y

=(x-y)+

2

x-y

≥2

(x-y)• 2 x-y

=2

2

，
∴a≤2

2

．
故答案为a≤2

2

．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了基本不等式求最值，是中档题．