Question

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，数列{b_n}为等比数列，b₁=1，且b₂S₂=4，b₃S₃=

15

4

．
（1）求a_n与b_n；
（2）记数列（

1

Sn

）的前n项和为T_n，且

lim

n→∞

T_n=T，求使b_n≥

T

3

成立的所有正整数n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出

b1q(2a1+d)=4 b1q2(3a1+3d)= 15 4

，把a₁=3，b₁=1解得

d=2 q= 1 2

，由此能求出求a_n与b_n．
（2）由（1）得Sn=

n(3+2n+1)

2

=n(n+2)，由此利用裂项求和法能求出T_n=

3

4

-

1

2(n+1)

-

1

2(n+2)

，利用极限知识求出T=

3

4

．由此能求出使b_n≥

T

3

成立的所有正整数n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
则由题意知

b1q(2a1+d)=4 b1q2(3a1+3d)= 15 4

，
把a₁=3，b₁=1代入上式，解得

d=2 q= 1 2

或

d=- 6 5 q= 5 6

，
∵等差数列{a_n}的各项均为正数，∴舍去d=-

6

5

，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1，bn=1×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-1．
（2）由（1）得Sn=

n(3+2n+1)

2

=n(n+2)，
则Tn=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2(n+1)

-

1

2(n+2)

，
∴

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

(

3

4

-

1

2(n+1)

-

1

2(n+2)

)=

3

4

，
∴T=

3

4

．
∴(

1

2

)n-1≥

1

4

，解得n≤3．
∴n=1，2，3．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的所有正整数的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．