题目内容
已知函数f（x）=ex，x∈R．
（Ⅰ）若直线y=kx+1与函数y=lnx的图象相切，求实数k的值．
（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．
（Ⅰ）若直线y=kx+1与函数y=lnx的图象相切，求实数k的值．
（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用
分析：（Ⅰ）设出切点，求出lnx的导数，求出切线的斜率，列出方程组，求出x0，k；
（Ⅱ）由条件转化为方程f（x）=mx2的根的个数，分离出参数m=
，令h（x）=
，求出h′（x），求出单调区间，求出极值，即为最值，根据图象讨论m的取值即可得到公共点的个数．
（Ⅱ）由条件转化为方程f（x）=mx2的根的个数，分离出参数m=
| ex |
| x2 |
| ex |
| x2 |
解答：
解：（Ⅰ）设直线y=kx+1与函数y=g（x）=lnx的图象相切于点P（x0，y0），
则kx0+1=lnx0．且k=g′（x0）=
，
即有lnx0=2，x0=e2，k=e-2；
（Ⅱ）当x＞0，m＞0时，曲线f（x）=ex与曲线y=mx2（m＞0）的公共点的个数，
即方程f（x）=mx2的根的个数．
由f（x）=mx2即m=
，h′（x）=
，
则h（x）在（0，2）上递减，在（2，+∞）上递增，
∴h（2）是h（x）的极小值即为最小值，且为
．
∴对曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）的公共点的个数，
讨论如下：
当m∈（0，
），有0个公共点；
当m=
时，有1个公共点；
当m∈（
，+∞），有2个公共点．
则kx0+1=lnx0．且k=g′（x0）=
| 1 |
| x0 |
即有lnx0=2，x0=e2，k=e-2；
（Ⅱ）当x＞0，m＞0时，曲线f（x）=ex与曲线y=mx2（m＞0）的公共点的个数，
即方程f（x）=mx2的根的个数．
由f（x）=mx2即m=
| ex |
| x2 |
| ex(x-2) |
| x3 |
则h（x）在（0，2）上递减，在（2，+∞）上递增，
∴h（2）是h（x）的极小值即为最小值，且为
| e2 |
| 4 |
∴对曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）的公共点的个数，
讨论如下：
当m∈（0，
| e2 |
| 4 |
当m=
| e2 |
| 4 |
当m∈（
| e2 |
| 4 |
点评：本题主要考查导数的综合运用：求切线方程和求单调区间、求极值和最值，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．
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