Question

17．若函数f（x）满足下面两个条件：①是定义在R上的奇函数，②对任意的x∈R，都有f（x-1）≤f（x），则我们把这个函数f（x）叫做漂亮函数．
已知漂亮函数f（x）在x≥0时，有f（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a²|+|x-2a³|-3a²），则实数a的取值范围为{-1，0}．

Answer 1

分析 由f（0）=$\frac{1}{2}$（|0-a²|+|0-2a³|-3a²）=0可解得a=0或a=-1或a=1，从而分类讨论即可．

解答 解：∵f（x）在R上的奇函数，
∴f（0）=$\frac{1}{2}$（|0-a²|+|0-2a³|-3a²）=0，
∴a=0或a=-1或a=1，
若a=0，则f（x）=x，（x≥0）；
故f（x）=x，x∈R；
故对任意的x∈R，都有f（x-1）≤f（x），
故f（x）是漂亮函数；
若a=1，则f（x）=$\frac{1}{2}$（|x-1|+|x-2|-3）（x≥0），
f（0）=0，f（1）=-1，故不成立；
若a=-1，则f（x）=$\frac{1}{2}$（|x-1|+|x+2|-3）（x≥0），
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，x≥1}\\{0，-1＜x＜1}\\{x+1，x≤-1}\end{array}\right.$，
故f（x）是漂亮函数；
综上所述，实数a的取值范围为{-1，0}；
故答案为：{-1，0}．

点评 本题考查了函数的奇偶性的应用及学习能力，同时考查了分类讨论的思想应用．