Question

10．已知x，y是正实数，则$\frac{2y-x}{x}$+$\frac{2x-y}{3y}$的最小值为$\frac{4\sqrt{3}-4}{3}$．

Answer 1

分析 将原式等价变形为$\frac{2y}{x}$+$\frac{2x}{3y}$-$\frac{4}{3}$，再由基本不等式计算即可得到所求最小值．

解答 解：x，y是正实数，则$\frac{2y-x}{x}$+$\frac{2x-y}{3y}$=$\frac{2y}{x}$+$\frac{2x}{3y}$-$\frac{4}{3}$
≥2$\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{2x}{3y}}$-$\frac{4}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}-4}{3}$．
当且仅当x=$\sqrt{3}$y时，取得最小值$\frac{4\sqrt{3}-4}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}-4}{3}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用变形和基本不等式，考查运算能力，属于基础题．