Question

18．若二次函数f（x）=ax²+bx+c（a、b∈R）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[-1，-1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=1，求出c=1，根据f（x+1）-f（x）=2x，通过系数相等，从而求出a，b的值；
（2）f（x）＞2x+m等价于x²-x+1＞2x+m，即x²-3x+1-m＞0，要使此不等式在[-1，-1]上恒成立，只需使函数g（x）=x²-3x+1-m在[-1，-1]的最小值大于0即可，求出g（x）的最小值即可．

解答 解：（1）由f（0）=1得，c=1．∴f（x）=ax²+bx+1…（2分）
又f（x+1）-f（x）=2x，∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x，
即2ax+a+b=2x，…（4分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$…（5分）
∴f（x）=x²-x+1…（6分）
（2）f（x）＞2x+m等价于x²-x+1＞2x+m，即x²-3x+1-m＞0，…（7分）
要使此不等式在[-1，-1]上恒成立，只需使函数g（x）=x²-3x+1-m在[-1，-1]的最小值大于0即可．       …（9分）
∵g（x）=x²-3x+1-m在[-1，-1]上单调递减，
∴g（x）_min=g（1）=-m-1，…（10分）
由-m-1＞0，得m＜-1…（11分）
∴实数m的取值范围是（-∞，-1）…（12分）

点评 本题考查了求二次函数的解析式问题，考查了求参数的范围问题，考查了转化思想，属于中档题．