Question

13．设f（x）=|2x-1|+|1-x|
（1）解不等式f（x）≥x+4；
（2）若对任意的x∈R，不等式f（x）≥（m²-3m+3）•|x|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分情况将原不等式绝对值符号去掉，然后求解；
（2）分x=0与x≠0两种情况研究：当x=0时，显然成立；当x≠0时，两边同除以|x|，然后求出左边的最小值，解关于m的不等式即可．

解答 解：（1）x≥1时，由f（x）≥x+4，得3x-2≥x+4，解得：x≥3；
$\frac{1}{2}$＜x＜1时，由f（x）≥x+4，得x≥x+4，无解；
x≤$\frac{1}{2}$时，由f（x）≥x+4，得2-3x≥x+4，解得：x≤-$\frac{1}{2}$；
综上，不等式的解集是（-∞，$\frac{1}{2}$]∪[3，+∞）；
（2）当x=0时，原不等式为2≥0，显然恒成立；
当x≠0时，原不等式两边同除以|x|，则不等式可化为：
|2-$\frac{1}{x}$|+|$\frac{1}{x}$-1|≥m2-3m+3恒成立．
因为|2-$\frac{1}{x}$|+|$\frac{1}{x}$-1|≥|（2-$\frac{1}{x}$）+（$\frac{1}{x}$-1）|=1，
所以要使原式恒成立，只需m²-3m+3≤1即可，即m²-3m+2≤0．
解得1≤m≤2．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题的解题思路，一般的不等式恒成立问题要转化为函数的最值问题来解．本题还考查了分类讨论思想的应用．