Question

如图，在正四面体S-ABC中，E，F，G，H分别是棱SB，SA，AC，CB的中点．

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）求证：SC∥平面EFGH；
（3）求证：BC⊥平面SAH．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）∵E，F，G，H分别是棱SB，SA，AC，CB的中点，利用中位线的性质得证；
（2）由（1）知，FG∥SC，利用线面平行的判定定理可得；
（3）∵S-ABC是正四面体，所以它的四个面是全等的等边三角形，H是BC的中点，得到BC⊥SH，BC⊥AH，由线面垂直的判定定理可证．

解答： 证明：（1）∵E，F，G，H分别是棱SB，SA，AC，CB的中点，
∴FG∥SC，EH∥SC，且FG=

1

2

SC，EH=

1

2

SC，（2分）
∴FG∥EH且FG=EH，（3分）
∴四边形EFGH是平行四边形．（4分）
（2）由（1）知，FG∥SC，（5分）
且FG?平面EFGH，SC?平面EFGH，（7分）
∴SC∥平面EFGH．（8分）
（3）∵S-ABC是正四面体，
所以它的四个面是全等的等边三角形．（9分）

∵H是BC的中点，
∴BC⊥SH，BC⊥AH．（11分）
又SH?平面SAH，AH?平面SAH，且SH∩AH=H，（12分）
∴BC⊥平面SAH．（13分）

点评：本题考查了三角形中位线的性质、线面平行、线面垂直的判定定理的运用，熟练运用判定定理是证明的关键，属于基础题