Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是一个直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°．CD=3，BC=2，AB=5，AA₁=2

5

．
（I）若A₁A=A₁D，点O在线段AB上，且AO=2，A₁O=4，求证：A₁O⊥平面ABCD；
（II）试判断AB₁与平面A₁C₁D是否平行，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（I）连接DO，由A1O2+OD2=A1D2，先证明A₁O⊥OD，由A1O2+OA2=A1A2，证明A₁O⊥AB，即可证明A₁O⊥平面ABCD；
（II）以OB，OD．OA₁，为x，y，z轴建立空间坐标系，可得

A1C1

，

A1D

坐标，设平面A₁C₁D法向量为

n

=（x，y，z），可求

AB1

，由

AB1

与

n

不平行，

AB1

•

n

≠0，故可证AB₁与平面A₁C₁D不平行．

解答：
解：（I）连接DO，AB∥CD，∠ABC=90°．CD=3，BC=2，AB=5，AO=2，
∴OB

∥

.

DC，可得OD=BC=2，
∵△A₁OD中，A₁O=4，A₁A=A₁D=2

5

，有A1O2+OD2=A1D2，∴A₁O⊥OD，
∵△A₁OA中，A₁O=4，AO=2，A₁A=2

5

，有A1O2+OA2=A1A2，∴A₁O⊥AB，
∵OD∩AB=O，AB∥CD，OD，AB?平面ABCD；
∴A₁O⊥平面ABCD；
（II）AB₁与平面A₁C₁D不平行，理由如下：

如图所示，以OB，OD．OA₁，为x，y，z轴建立空间坐标系，
则有：B（3，0，0），C（3，2，0），D（0，2，0），A（-2，0，0），
B₁（3，0，4），C₁（3，2，4），

A1C1

=（3，2，4），

A1D

=（0，2，0），
∴设平面A₁C₁D法向量为

n

=（x，y，z），
则

y=0 3x+4z=0

，
则

n

=（-4，0，3），
∴

AB1

=（5，0，4），

AB1

与

n

不平行，

AB1

•

n

≠0，
故AB₁与平面A₁C₁D不平行．

点评：本题主要考察了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，建立空间坐标系用空间向量求解是解题的关键，属于中档题．