Question

7．已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x²-2．
（Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=-1时，求函数f（x）在区间[m，m+3]（m＞0）上的最值；
（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有$lnx+1＞\frac{1}{{{{e}^{x+1}}}}-\frac{2}{{{{e}^2}x}}$成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx-ax≥-x²-2恒成立，可化为a≤lnx+x+$\frac{2}{x}$在x∈（0，+∞）上恒成立．令F（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；
（Ⅱ）把a=-1代入f（x），再求出f′（x），由f'（x）=0得$x=\frac{1}{{{{e}^2}}}$，然后分类讨论，当$0＜m＜\frac{1}{{{{e}^2}}}$时，在$x∈[m，\frac{1}{{e}^{2}}）$上f'（x）＜0，在$x∈（\frac{1}{{e}^{2}}，m+3]$上f'（x）＞0，因此f（x）在$x=\frac{1}{{{{e}^2}}}$处取得极小值，由于f（m）=m（lnm+1）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0，因此f（x）_max=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]，当$m≥\frac{1}{e^2}$时，f'（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上单调递增，从而可求出函数f（x）在区间[m，m+3]（m＞0）上的最值；
（Ⅲ）要证$lnx+1＞\frac{1}{{{{e}^{x+1}}}}-\frac{2}{{{{e}^2}x}}$成立，即证$xlnx+x＞\frac{x}{{{{e}^{x+1}}}}-\frac{2}{{{{e}^2}}}$，由（Ⅱ）知a=-1时，f（x）的最小值是$-\frac{1}{{{{e}^2}}}$，当且仅当$x=\frac{1}{{{{e}^2}}}$时取等号．设$G（x）=\frac{x}{{e}^{x+1}}-\frac{2}{{e}^{2}}$，x∈（0，+∞），则$G'（x）=\frac{1-x}{{{{e}^{x+1}}}}$，易知$G{（x）_{max}}=G（1）=-\frac{1}{{{{e}^2}}}$，当且仅当x=1时取到，即可证得结论．

解答 （Ⅰ）解：对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx-ax≥-x²-2恒成立．
也就是$a≤lnx+x+\frac{2}{x}$在x∈（0，+∞）上恒成立．令$F（x）=lnx+x+\frac{2}{x}$，
则$F'（x）=\frac{1}{x}+1-\frac{2}{x^2}=\frac{{{x^2}+x-2}}{x^2}=\frac{（x+2）（x-1）}{x^2}$．x∈（0，1）时，F'（x）＜0，x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0．
因此F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即F（x）_min=F（1）=3，
∴a≤3；
（Ⅱ）解：当a=-1时，f（x）=xlnx+x，f′（x）=lnx+2，由f'（x）=0得$x=\frac{1}{{{{e}^2}}}$．
当$0＜m＜\frac{1}{{{{e}^2}}}$时，在$x∈[m，\frac{1}{{e}^{2}}）$上f'（x）＜0，在$x∈（\frac{1}{{e}^{2}}，m+3]$上f'（x）＞0．
因此f（x）在$x=\frac{1}{{{{e}^2}}}$处取得极小值，也是最小值．故$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{e^2}）=-\frac{1}{{{{e}^2}}}$．
由于f（m）=m（lnm+1）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0，
因此f（x）_max=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]．
当$m≥\frac{1}{e^2}$时，f'（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上单调递增，
故f（x）_min=f（m）=m（lnm+1），f（x）_max=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]；
（Ⅲ）证明：要证$lnx+1＞\frac{1}{{{{e}^{x+1}}}}-\frac{2}{{{{e}^2}x}}$成立，即证$xlnx+x＞\frac{x}{{{{e}^{x+1}}}}-\frac{2}{{{{e}^2}}}$，x∈（0，+∞）．
由（Ⅱ）知a=-1时，f（x）=xlnx+x的最小值是$-\frac{1}{{{{e}^2}}}$，当且仅当$x=\frac{1}{{{{e}^2}}}$时取等号．
设$G（x）=\frac{x}{{e}^{x+1}}-\frac{2}{{e}^{2}}$，x∈（0，+∞），则$G'（x）=\frac{1-x}{{{{e}^{x+1}}}}$，易知$G{（x）_{max}}=G（1）=-\frac{1}{{{{e}^2}}}$，
当且仅当x=1时取到．
从而可知对一切x∈（0，+∞），都有$lnx+1＞\frac{1}{{{{e}^{x+1}}}}-\frac{2}{{{{e}^2}x}}$．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查利用导数研究函数的最值，考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和计算能力，是难题．