题目内容

8．已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|．
（1）求函数f（x）的最值；
（2）若?x∈R，f（x）≥t2-$\frac{7}{2}$t恒成立，求实数t的取值范围．

分析 （1）去掉绝对值符合，即可求函数f（x）的最值；
（2）若?x∈R，f（x）≥t2-$\frac{7}{2}$t恒成立，则-3≥t2-$\frac{7}{2}$t，即可求实数t的取值范围．

解答 解：（1）x＜2时，f（x）=-x+2+x-5=-3，
2≤x≤5时，f（x）=x-2+x-5=2x-7∈[-3，3]，
x＞5时，f（x）=x-2-x+5=3，
∴f（x）的最小值为-3，最大值为3；
（2）∵?x∈R，f（x）≥t2-$\frac{7}{2}$t恒成立，
∴-3≥t2-$\frac{7}{2}$t，
∴（t-2）（2t-3）≤0，
∴$\frac{3}{2}$≤t≤2．

点评 本题考查绝对值不等式，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，正确求出函数的最值是关键．

练习册系列答案
相关题目
15．设f（x）=aex+$\frac{1}{a{e}^{x}}$+b（a＞0）．
（1）求f（x）在[0，+∞）上的最小值；
（2）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））的切线方程为3x-2y=0，求a、b的值．
19．已知函数f（x）=lnx
（Ⅰ）求函数$F（x）=\frac{f（x）}{x}+\frac{1}{2}$的最大值．
（Ⅱ）证明：$\frac{f（x）}{x}+\frac{1}{2}＜x-f（x）$；
（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的$m∈[{0，\frac{3}{2}}]，x∈[{1，{e^2}}]$都成立，求实数a的取值范围．
16．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x2-2x，．
（1）设h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求h（x）的单调区间；
（2）设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x-1）＜xf（x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．
3．已知函数f（x）=ex-2ax，g（x）=ax2+1（a∈R）．
（Ⅰ）设函数h（x）=g（x）-f（x），其导函数为h′（x），若h′（x）在[0，+∞）上具有单调性，求a的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（1）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{n}$）＞n+$\frac{1}{4}$（n∈N*）．
13．已知|x-1|≤1，|y-2|≤1．
（1）求y的取值范围；
（2）若对任意实数x，y，|x-2y+2a-1|≤3成立，求实数a的值．
20．设函数f（x）=lnx-ax2-$\frac{1}{2}$x．
（Ⅰ） 当a=$\frac{1}{4}$时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ） 令g（x）=f（x）+ax2+$\frac{1}{2}$x+$\frac{a}{x}$，x∈（0，3]，其图象上任意一点P（x0，y0）处的切线的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ） 当a=0时，方程2mf（x）=x（x-3m）有唯一实数解，求正实数m的值．
17．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．
（1）若CG=1，CD=4．求$\frac{DE}{GF}$的值．
（2）求证：FG∥AC．
18．设函数f（x）=ex，g（x）=kx+1．
（I）求函数y=f（x）-（x+1）的最小值；
（II）证明：当k＞1时，存在x0＞0，使对于任意x∈（0，x0）都有f（x）＜g（x）；
（III）若对于任意x∈（0，+∞），|f（x）-g（x）|＞x恒成立，求实数k的取值范围．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网