Question

3．若函数f（x）=sin²x+asinx+b（a，b∈R）在[-$\frac{π}{2}$，0]上存在零点，且0≤b-2a≤1，则b的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{2}{3}$，0]
• B． [-3，-2]
• C． [-2，0]
• D． [-3，0]

Answer 1

分析 讨论零点个数，列出不等式组，作出平面区域，得出b的取值范围．

解答 解：设sinx=t，则t∈[-1，0]，
∴关于t的方程t²+at+b=0在[-1，0]上有解，
令g（t）=t²+at+b，
（1）若g（t）在[-1，0]上存在两个零点，则$\left\{\begin{array}{l}{b≥0}\\{1-a+b≥0}\\{{a}^{2}-4b＞0}\\{-1＜-\frac{a}{2}＜0}\\{0≤b-2a≤1}\end{array}\right.$，无对应的平面区域，
（2）若g（t）在[-1，0]上存在1个零点，则g（-1）g（0）≤0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b（1-a+b）≤0}\\{0≤b-2a≤1}\end{array}\right.$，
作出平面区域如图所示：

解方程组$\left\{\begin{array}{l}{b-2a=1}\\{1-a+b=0}\end{array}\right.$得A（-2，-3）．
∴b的范围是[-3，0]．
故选D．

点评 本题考查了函数零点的存在性定理，简单的线性规划，属于中档题．