Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=1，AB=

2

，BC=

3

，AA1=

2

．
（Ⅰ）求证：A₁B⊥B₁C；
（Ⅱ）求二面角A₁-B₁C-B的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）由已知条件利用勾股定理推导出AC⊥AB，再由直三棱柱推导出AC⊥面ABB₁A₁，由此利用三垂线定理能证明A₁B⊥B₁C．
（II）作BD⊥B₁C，垂足为D，连结A₁D，由题设条件能推导出∠A₁DB为二面角A₁-B₁C-B的平面角，由此能求出二面角A₁-B₁C-B的大小．

解答： （I）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AC=1，AB=

2

，BC=

3

，AA1=

2

，
∴AC²+AB²=BC²，∴AC⊥AB．
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，面ABB₁A₁⊥面ABC，
∴AC⊥面ABB₁A₁．…（3分）
∵AA₁=AB=

2

，∴侧面ABB₁A₁是正方形，连结AB₁，
∴A₁B⊥AB₁．
由三垂线定理得A₁B⊥B₁C．  …（6分）
（II）解：作BD⊥B₁C，垂足为D，连结A₁D．
由（I）知，A₁B⊥B₁C，∴B₁C⊥面A₁BD，∴B₁C⊥A₁D，
∴∠A₁DB为二面角A₁-B₁C-B的平面角． …（8分）
∵A₁B₁⊥A₁C₁，∴A₁B₁⊥A₁C，
∵A1B1=BB1=

2

，A1C=BC=

3

，B1C=

5

，
∴Rt△A₁B₁C≌Rt△B₁BC，
∴A1D=BD=

A1B1•A1C

B1C

=

6

5

，
又∵A₁B=2，∴cos∠A1DB=

A1D2+BD2-A1B2

2A1D•BD

=-

2

3

，
∴∠A1DA=arccos(-

2

3

)．
∴二面角A₁-B₁C-B的大小为arccos（-

2

3

）．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题．