Question

已知函数f（x）=lnx+ax²+bx．
（1）如果函数f（x）在x=1处取得极值0，求实数a、b的值；
（2）若b=-2a-1，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）由题意求导，从而可得

0+a+b=0 1+2a+b=0

，从而求实数a、b的值；
（2）写出函数的定义域，求导f′（x）=

1

x

+2ax-2a-1=

2ax2-(2a+1)x+1

x

=

(2ax-1)(x-1)

x

，讨论a的取值范围，从而确定导数的正负，再确定函数的单调区间．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx+ax²+bx，
∴f′（x）=

1

x

+2ax+b，
故

0+a+b=0 1+2a+b=0

，
解得，a=-1，b=1；
（2）由题意，函数f（x）=lnx+ax²-（2a+1）x的定义域为（0，+∞），
f′（x）=

1

x

+2ax-2a-1=

2ax2-(2a+1)x+1

x

=

(2ax-1)(x-1)

x

，
①当a≤0时，2ax-1＜0，
故函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为[1，+∞）；
②当0＜2a＜1，即0＜a＜

1

2

时，
函数f（x）的单调增区间为（0，1），[

1

2a

，+∞）单调减区间为[1，

1

2a

）；
③当2a=1，即a=

1

2

时，
函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
④当2a＞1，即a＞

1

2

时，
故函数f（x）的单调增区间为（0，

1

2a

），（1，+∞），单调减区间为[

1

2a

，1]．

点评：本题综合考查了导数的应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于难题．