Question

等差数列{a_n}中，a₁₀=4，a₂₀=-16．
（Ⅰ）求通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n的最大值及相应n的值；
（Ⅲ）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）由a_n≥0解得n≤12，即可得出．
（III）当n≤12时，a_n≥0，可得|a_n|=a_n，利用等差数列的前n项和公式即可得出T_n．当n＞12时，T_n=S₁₂-a₁₃-a₁₄-…-a_n=2S₁₂-S_n，利用等差数列的前n项和公式即可得出T_n．

解答： 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁₀=4，a₂₀=-16．∴

a1+9d=4 a1+19d=-16

，解得

a1=22 d=-2

．
∴a_n=22+（n-1）×（-2）=-2n+24．
（II）由a_n≥0解得n≤12，且a₁₂=0，因此前11项或12项的和最大．
（III）当n≤12时，a_n≥0，
∴|a_n|=a_n，∴T_n=22n+

n(n-1)

2

×-2=-n²+23n．
当n＞12时，T_n=S₁₂-a₁₃-a₁₄-…-a_n=2S₁₂-S_n=2×（-12²+23×12）-（-n²+23n）=n²-23n+264．
∴Tn=

-n2+23n，n≤12 n2-23n+264，n≥13

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值的数列的求和，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．