题目内容
如图甲，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD，E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，现将△PDC沿CD折起，使平面PDC⊥平面ABCD（如图乙），且所得到的四棱锥P-ABCD的正视图、侧视图、俯视图的面积总和为8．（1）求点C到平面EFG的距离；
（2）求二面角G-EF-D夹角的余弦值；
（3）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明过程．
考点：点、线、面间的距离计算,用空间向量求平面间的夹角
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）由题意可得AD=DC=PD=2，取AD的中点H，易得DQ⊥平面EFGH且DQ=
，由CD∥平面EFGH可得DQ即为所求；（2）由（1）可知∠DFH就是二面角G-EF-D的平面角，由RT△HDF易得答案；（3）设
=λ
（0＜λ＜1），则
=
+
=（-2+2λ，2λ，2-2λ），由
•
=0可得λ=
，即点Q是PB的中点．
| ||
| 2 |
| PQ |
| PB |
| AQ |
| AP |
| PQ |
| AQ |
| PC |
| 1 |
| 2 |
解答：
解：（1）由几何体的正视图、侧视图、俯视图的面积总和为8可得AD=DC=PD=2，
取AD的中点H，连接FH、GH，∵E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，
∴GH∥CD∥EF，∴E、F、G、H四点共面，
作DQ⊥FH于Q，易得DQ⊥平面EFGH且DQ=
，
又CD∥平面EFGH，∴点D到平面EFGH的距离DQ=
即为所求；
（2）由（1）可知∠DFH就是二面角G-EF-D的平面角，
在RT△HDF中，DF=
PD=1，DH=
AD=1，
∴∠DFH=45°，即面角G-EF-D的大小为45°，余弦值为
；
（3）设
=λ
（0＜λ＜1），则
=
+
=（-2+2λ，2λ，2-2λ），
∵AQ⊥PC，∴
•
=0，∴2×2λ-2（2-2λ）=0，
解得λ=
，又AD⊥PC，∴PC⊥平面ADQ，
∴点Q是PB的中点．
取AD的中点H，连接FH、GH，∵E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，
∴GH∥CD∥EF，∴E、F、G、H四点共面，
作DQ⊥FH于Q，易得DQ⊥平面EFGH且DQ=
| ||
| 2 |
又CD∥平面EFGH，∴点D到平面EFGH的距离DQ=
| ||
| 2 |
（2）由（1）可知∠DFH就是二面角G-EF-D的平面角，
在RT△HDF中，DF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴∠DFH=45°，即面角G-EF-D的大小为45°，余弦值为
| ||
| 2 |
（3）设
| PQ |
| PB |
| AQ |
| AP |
| PQ |
∵AQ⊥PC，∴
| AQ |
| PC |
解得λ=
| 1 |
| 2 |
∴点Q是PB的中点．
点评：本题考查空间线面位置关系，涉及二面角和三视图，属中档题．
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