Question

如图，设G为△ABO的重心，过G的直线与边OA、OB分别交于P和Q，已知

OP

=x

OA

，

OQ

=y

OB

，△OAB与△OPQ的面积分别为S和T．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求

T

S

的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数解析式的求解及常用方法,平面向量的坐标运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由中心可得

OG

=

1

3

(

OA

+

OB

)，进而可得

GP

和

QG

，由

GP

与

QG

共线，

OA

与

OB

不共线可得

x- 1 3

1 3

=

- 1 3

1 3 -y

变形即可；（2）分别可得S和T，可得

T

S

=xy=

x2

3x-1

=

1

3 x - 1 x2

，令g（x）=

3

x

-

1

x2

=-（

1

x

-

3

2

）²+

9

4

，由二次函数区间的最值可得．

解答： 解：（1）∵

OG

=

2

3

OM

=

2

3

×

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

3

(

OA

+

OB

)，

GP

=

OP

-

OG

=x

OA

-

1

3

(

OA

+

OB

)=(x-

1

3

)

OA

-

1

3

OB

，

QG

=

OG

-

OQ

=

1

3

(

OA

+

OB

)-y

OB

=

1

3

OA

+(

1

3

-y)

OB

，
∵

GP

与

QG

共线，

OA

与

OB

不共线，
∴

x- 1 3

1 3

=

- 1 3

1 3 -y

变形可得y=

x

3x-1

 (

1

2

≤x≤1)即为所求．
（2）∵T=

1

2

|

OP

|×|

OQ|

sin∠BOA=

1

2

xy|

OA

|×|

OB|

sin∠BOA，
S=

1

2

|

OA

|×|

OB|

sin∠BOA，
∴

T

S

=xy=

x2

3x-1

=

1

3 x - 1 x2

，
令g（x）=

3

x

-

1

x2

=-（

1

x

-

3

2

）²+

9

4

，
∵

1

2

≤x≤1，∴1≤

1

x

≤2，
当

1

x

=

3

2

时，g（x）取最大值

9

4

，
当

1

x

=1或2时，g（x）取最小值2，
∴

T

S

的取值范围为[

4

9

，

1

2

]．

点评：本题考查平面向量的数量积，涉及二次函数区间的最值，属基础题．