Question

在直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据勾股定理和三角形面积公式，将化为关于a、b的表达式，利用基本不等式可得＞1．再设=t，则可将表示成关于t的函数f（t），研究f（t）的单调性得到在区间（0，）上f（t）是增函数，从而得到f（t）的最大值是f（）=．由此即可得到的取值范围．
解答：解：∵直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，
∴斜边c=，斜边上的高h==，
因此，=
∵≥=，≥1
∴＞1（等号取不到），即
又=+•
设=t，则=，=
可得f（t）=+，（0＜t）
∵在区间（0，）上f'（t）＞0，
∴f（t）在区间（0，）上是增函数，可得当0＜t时，f（t）的最大值为f（）=
综上所述，的取值范围是（1，]
故答案为：（1，]
点评：本题在直角三角形中，求斜边与斜边上高之和与两条直角边之和的比值范围．着重考查了勾股定理、基本不等式求最值和函数的单调性等知识，属于中档题．