Question

在直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，则

c

a+b

的取值范围是

[

2

2

，1）

．

Answer 1

分析：所求式子利用正弦定理化简，将C度数及B=90°-A代入，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出范围．

解答：解：在Rt△ABC中，斜边为c，两条直角边为a，b，
可得∠C=90°，∠A+∠B=90°，
由正弦定理得：

c

a+b

=

sinC

sinA+sinB

=

sin90°

sinA+sinB

=

1

sinA+cosA

=

1

2 sin(A+45°)

，
∵A∈（0，90°），∴A+45°∈（45°，135°），
∴sin（A+45°）∈（

2

2

，1]，
则

c

a+b

的取值范围是[

2

2

，1）．
故答案为：[

2

2

，1）

点评：此题考查了正弦定理的应用，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．