题目内容
（2013•泗阳县模拟）在直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则
的取值范围是
| c+h |
| a+b |
（1，
]
3
| ||
| 4 |
（1，
]
．3
| ||
| 4 |
分析：根据勾股定理和三角形面积公式，将
化为关于a、b的表达式，利用基本不等式可得
＞1．再设
=t，则可将
表示成关于t的函数f（t），研究f（t）的单调性得到在区间（0，
）上f（t）是增函数，从而得到f（t）的最大值是f（
）=
．由此即可得到
的取值范围．
| c+h |
| a+b |
| c+h |
| a+b |
| ab |
| (a+b)2 |
| c+h |
| a+b |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
3
| ||
| 4 |
| c+h |
| a+b |
解答：解：∵直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，
∴斜边c=
，斜边上的高h=
=
，
因此，
=
∵
≥
=
，
≥1
∴
＞1（等号取不到），即
＞1
又
=
+
•
设
=t，则
=
，
=
可得f（t）=
+
，（0＜t≤
）
∵在区间（0，
）上f'（t）＞0，
∴f（t）在区间（0，
）上是增函数，可得当0＜t≤
时，f（t）的最大值为f（
）=
综上所述，
的取值范围是（1，
]
故答案为：（1，
]
∴斜边c=
| a2+b2 |
| ab |
| c |
| ab | ||
|
因此，
| c+h |
| a+b |
| ||||||
| a+b |
∵
| ||||||
| a+b |
2
| ||||||||
| a+b |
2
| ||
| a+b |
2
| ||
| a+b |
∴
| ||||||
| a+b |
| c+h |
| a+b |
又
| ||||||
| a+b |
|
|
| ||
|
设
| ab |
| (a+b)2 |
|
| 1-2t |
|
|
可得f（t）=
| 1-2t |
| t | ||
|
| 1 |
| 4 |
∵在区间（0，
| 1 |
| 4 |
∴f（t）在区间（0，
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
3
| ||
| 4 |
综上所述，
| c+h |
| a+b |
3
| ||
| 4 |
故答案为：（1，
3
| ||
| 4 |
点评：本题在直角三角形中，求斜边与斜边上高之和与两条直角边之和的比值范围．着重考查了勾股定理、基本不等式求最值和函数的单调性等知识，属于中档题．
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