Question

9．已知函数f（x）=6lnx-ax²-7x+b（a，b为常数），且x=2为f（x）的一个极值点．
（1）求a；   
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若y=f（x）的图象与x轴有且只有3个交点，求b的取值范围．（ln2=0.693，ln1.5=0.405）

Answer 1

分析 （1）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据x=2是f（x）的一个极值点f′（2）=0，可构造关于a的方程，求出a值；
（2）由（1）可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，x的范围，可得函数f（x）的单调减区间；
（3）若y=f（x）的图象与x轴有且只有3个交点，则函数的极大值与极小值异号，进而构造关于b的不等式，解不等式可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=6lnx-ax²-7x+b，
∴f′（x）=$\frac{6}{x}$-2ax-7，
又∵x=2是f（x）的一个极值点
∴f′（2）=3-4a-7=0，
则a=-1．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
由（1）知f（x）=6lnx+x²-7x+b．
∴f′（x）=$\frac{6}{x}$+2x-7=$\frac{（x-2）（2x-3）}{x}$．
由f′（x）＞0可得x＞2或x＜$\frac{3}{2}$，由f′（x）＜0可得$\frac{3}{2}$＜x＜2．
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{3}{2}$）和（2，+∞），单调递减区间为（$\frac{3}{2}$，2）．
（3）由（2）可知函数f（x）在（0，$\frac{3}{2}$）单调递增，
在（$\frac{3}{2}$，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
且当x=2或x=$\frac{3}{2}$时，f′（x）=0．
∴f（x）的极大值为f（$\frac{3}{2}$）=6ln$\frac{3}{2}$-$\frac{33}{4}$+b，
f′（x）的极小值为f（2）=6ln2-10+b．
∵当x充分接近0时，f′（x）＜0．当x充分大时，f（x）＞0．
∴要使的f′（x）图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点，
只需f（$\frac{3}{2}$）•f（2）＜0，
即（6ln$\frac{3}{2}$-$\frac{33}{4}$+b）•（6ln2-10+b）＜0，
解得：$\frac{33}{4}$-6ln$\frac{3}{2}$＜b＜10-6ln2．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，其中根据已知条件确定a值，得到函数导函数的解析式并对其符号进行分析，是解答的关键．